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Mh/Fragment 020 01

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Typus
BauernOpfer
Bearbeiter
Lukaluka, Frangge, Graf Isolan, Senzahl, WiseWoman, Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 20, Zeilen: 1-14, 115-122
Quelle: Unser 1999
Seite(n): 15-16, Zeilen: 12-15,16-22;1-8,101-106
Das Bernoulli-Prinzip[FN 110] geht zurück auf die Überlegungen von Bernoulli aus dem Jahre 1738.[FN 111] Ausgangspunkt war die Erkenntnis, dass das bis zu dieser Zeit vorherrschende Entscheidungsprinzip für Risikosituationen, die Bayes-Regel, nicht hinreichend war für die Bewertung von Glücksspielen.[FN 112] Das bekannteste Beispiel dafür ist das so genannte Petersburger Paradoxon.[FN 113] Beim St. Petersburger Spiel wird eine Münze so lange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Die Auszahlung errechnet sich dann als die Geldeinheit 2 potenziert mit der Anzahl der Versuche, d.h. es werden 2^n Geldeinheiten ausgezahlt.[FN 114] Der Erwartungswert des St. Petersburger Spiel ergibt sich damit zu[FN 115]

EW=\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{4}\cdot 4 + \frac{1}{8}\cdot 8 + \ldots = \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot 2^n = + \infty (2.1)

Obwohl der Erwartungswert der Auszahlungen unendlich groß ist, ist jedoch niemand bereit, einen unendlich hohen Geldbetrag für die einmalige Teilnahme an diesem Spiel zu bezahlen.[FN 116] Um dieses beobachtete Verhalten zu erklären, entwickelte Bernoulli die Idee der Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens der Auszahlung unter Verwendung einer logarithmischen Nutzenfunktion.[FN 117]

[FN 112] Vgl. Unser (1999), S. 15. Nur im Falle von Risikoneutralität führen die Bayes-Regel und das Bernoulli-Prinzip zur gleichen Lösung; vgl. Bronner (1989), S. 12.

[FN 115] Vgl. etwa Unser (1999), S. 16 und Eisenführ und Weber (2003), S. 210.

[FN 116] Empirische Studien zeigen, dass die meisten Befragten lediglich bereit sind, Beträge kleiner als 20 Geldeinheiten zu bezahlen; vgl. die Ausführungen bei Eisenführ und Weber (2003), S. 210; Unser (1999), S. 16; Lopes (1981); Treisman (1988) sowie Schneider (1987), S. 238.

[FN 117] Der Grundgedanke entspricht dabei dem aus der Grenznutzentheorie bekannten zweiten Gossenschen Gesetz; vgl. Unser (1999), S. 16. Dieselbe Grundidee hatte bereits der Mathematiker Gabriel Cramer 1728 in einem Schriftwechsel mit Bernoullis Cousin Nikolaus geäußert, indem er eine Wurzelfunktion oder eine nach oben begrenzte Nutzenfunktion vorschlug; vgl. Kraschwitz und Kraschwitz (1996), S. 740.

Das von Daniel Bernoulli bereits 1738 entwickelte Prinzip entstand aus der Er­kenntnis heraus, daß das bis dahin vorherrschende Entscheidungsprinzip für Risiko­situationen, die BAYES-Regel, nicht uneingeschränkt für die Bewertung von Glück­spielen tauglich ist. [...] Diese Vorge­hensweise weist aber einerseits wenig plausible Implikationen auf und kann ande­rerseits das Bietverhalten beim sogenannten St. Petersburger Spiel nicht erklären. Dieses Münzwurfspiel beruht darauf, daß eine Münze solange geworfen wird, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Die Auszahlung wird dann dadurch ermittelt, daß die Geldeinheit 2 mit der Anzahl der Versuche potenziert wird. Es werden also 2^n Geldeinheiten (GE) ausgezahlt, womit für den Erwartungswert (EW) gilt:

(2.1) EW=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot 2^n = 1+1+1+\ldots =  + \infty

Für dieses Glücksspiel ist der Erwartungswert der Auszahlungen unendlich groß, aber niemand ist bereit, auch einen unendlichen Geldbetrag für die einmalige Teil­nahme an diesem Spiel zu bezahlen. [FN 1] Zur Erklärung des beobachteten Verhaltens entwickelt Bernoulli das Prinzip der Maximierung des Erwartungswerts des Nut­zens der Auszahlungen, wobei er eine logarithmische Nutzenfunktion verwendet.[FN 2] Der Grundgedanke von Bernoulli entspricht dem aus der Grenznutzentheorie be­kannten zweiten Gossenschen Gesetz.

[FN 1] In empirischen Studien konnte gezeigt werden, daß die meisten Befragten nur Beträge von weniger als 20 Geldeinheiten für die Teilnahme zu bezahlen bereit sind; vgl. Lopes, L. L. (1981); Treisman, M (1988); Eisenführ, F /Weber, M. (1994) S. 202; Schneider, D. (1987) S. 238.

[FN 2] Vgl. Bernoulli, D. (1996). Denselben Grundgedanken hatte der Mathematiker Gabriel Cramer bereits 1728 in einem Schriftwechsel an Bernoullis Cousin Nikolaus ausgeführt, indem er eine Wurzelfunktion oder eine nach oben begrenzte Nutzenfunktion vorschlug; vgl. Bernoulli, D. (1996) S. 740.

Anmerkungen

Der Text aus Fußnote 110 ist aus einer anderen Quelle übernommen und in Mh/Fragment 020 101 dokumentiert. FN 111 verweist nicht auf Unser.

Sichter
WiseWoman

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