Quelle:Rh/Lindskog 2004

Angaben zur Quelle [Bearbeiten]

Autor	Filip Lindskog
Titel	The mathematics and fundamental ideas of extreme value theory
Jahr	2004
Anmerkung	Das zum Download bereitstehende PDF File wurde im Juni 2004 erstellt
URL	http://www.math.ethz.ch/~embrecht/RM/evtnotes.pdf
Literaturverz.	nein
Fußnoten	nein
Fragmente	3

Fragmente der Quelle:

[1.] Rh/Fragment 012 26 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2012-08-15 21:53:37 Hindemith

Fragment, Gesichtet, Lindskog 2004, Rh, SMWFragment, Schutzlevel sysop, Verschleierung

Typus Verschleierung

Bearbeiter Hindemith

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 12, Zeilen: 26-28	Quelle: Lindskog 2004 Seite(n): 6, Zeilen: 7-9
First of all it is essential to know under what conditions of F there is a nontrivial limit of ${\scriptstyle \mathbb{P}(M_n \le x) }$ as ${\scriptstyle n\to\infty }$ for appropriate sequences of constants un.	First of all it is essential to know under what conditions on F there is a nontrivial limit of ${\scriptstyle \mathbb{P}(M_n \le u_n) }$ as ${\scriptstyle n\to\infty }$ for appropriate sequences of constants un.

Anmerkungen Die Fundstelle ist zwar nur kurz, die Textübernahme aber eindeutig. Sowohl in der Dissertation als auch in der Quelle folgt auf diese Stelle der Satz über die Poisson-Approximation in sehr ähnlichem Wortlaut. Bemerkenswert ist auch, dass in der Dissertation von "for appropriate sequences of constants un" die Rede ist, diese sequences aber davor nirgends erwähnt werden. Die Quelle ist hier wohl korrekt.

Sichter (Hindemith) Plagiatsfischer

[2.] Rh/Fragment 013 07 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2012-08-15 11:20:49 Hindemith

Fragment, Gesichtet, KomplettPlagiat, Lindskog 2004, Rh, SMWFragment, Schutzlevel sysop

Typus KomplettPlagiat

Bearbeiter Hindemith

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 13, Zeilen: 7-11

Quelle: Lindskog 2004 Seite(n): 6, Zeilen: 27-31

It is also important to know whether there can be sequences of constants ${\scriptstyle a_n, \tilde{a}_n > 0}$ and ${\scriptstyle b_n, \tilde{b}_n \in \mathbb{R} }$ such that ${\scriptstyle a_n^{-1} (M_n - b_n )}$ and ${\scriptstyle \tilde{a}_n^{-1} (M_n - b_n )}$ converge in distribution to two different random variables with very different distributions ${\scriptstyle H}$ and ${\scriptstyle \tilde{H} }$. Fortunately, the following result states that any two possible such distribution functions ${\scriptstyle H}$ and ${\scriptstyle \tilde{H} }$ are closely linked.

It is also important to know whether there can be sequences of constants ${\scriptstyle a_n, \tilde{a}_n > 0}$ and ${\scriptstyle b_n, \tilde{b}_n \in \mathbb{R} }$ such that ${\scriptstyle a_n^{-1} (M_n - b_n )}$ and ${\scriptstyle \tilde{a}_n^{-1} (M_n - \tilde{b}_n )}$ converge in distribution to two different random variables with very different distributions${\scriptstyle H}$ and ${\scriptstyle \tilde{H} }$. Fortunately, the following result states that any two possible such distribution functions ${\scriptstyle H}$ and ${\scriptstyle \tilde{H} }$ are closely linked.

Anmerkungen Der einzige Unterschied zwischen Quelle und Dissertation ist eine fehlende Tilde in der Dissertation. Dieser Einleitung folgt dann sowohl in der Quelle als auch in der Dissertation in fast identischem Wortlaut das "Convergence of types theorem". Vor dieser Einleitung findet sich sowohl in der Dissertation als auch in der Quelle ein Satz zur Poisson-Approximation und dessen Beweis, wobei in der Dissertation dieser Beweis gekürzt ist.

Sichter (Hindemith), WiseWoman

[3.] Rh/Fragment 016 01 - Diskussion Zuletzt bearbeitet: 2012-08-15 22:20:41 Hindemith

Fragment, Gesichtet, Lindskog 2004, Rh, SMWFragment, Schutzlevel sysop, Verschleierung

Typus Verschleierung

Bearbeiter Hindemith

Gesichtet

Untersuchte Arbeit: Seite: 16, Zeilen: 1-19

Quelle: Lindskog 2004 Seite(n): 10, 11, Zeilen: -

EXAMPLE 2.2.9. (Maxima of Cauchy random variables). Let X be a sequence of iid standard Cauchy random variables, i.e. the density function is given by ${\scriptstyle f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)} }$ for ${\scriptstyle x \in \mathbb{R} }$. Using l’Hospitals rule we obtain ${\scriptstyle \lim_{x\to\infty}\frac{\bar{F}(x)}{(\pi x)^{-1} }= \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{\pi^{-1} x^{-2} } = }$${\scriptstyle \lim_{x\to\infty}\frac{\pi x^2}{\pi (1+ x^2) }=1 }$ Then ${\scriptstyle \bar{F}(x)\sim(\pi x)^{-1} }$ as ${\scriptstyle x\to\infty}$. Hence, for ${\scriptstyle x>0, \quad\bar{F}(nx/\pi)\sim (nx)^{-1} }$ as ${\scriptstyle n\to\infty }$ and ${\scriptstyle \mathbb{P} (M_n\le nx/\pi ) = \left(1- \bar{F} (nx/\pi)\right)^n }$${\scriptstyle = \left( 1-\frac{1}{n}\left(\frac{1}{x} + o(1)\right)\right)^n }$${\scriptstyle \to \quad \exp\left\{ -x^{-1}\right\}= \Phi_1 (x), }$ for ${\scriptstyle x>0}$. Hence F belongs to the maximum domain of attraction of the Frèchet [sic] distribution. The normalizing constants can be chosen to be ${\scriptstyle a_n=n }$ and ${\scriptstyle b_n=0 }$ EXAMPLE 2.2.10. (Maxima of exponential random variables). Let X be a sequence of iid standard exponential random variables, i.e., the distribution function F of X is given by ${\scriptstyle F(x) = 1- e^{-x} }$ for ${\scriptstyle x\ge 0 }$ Then, ${\scriptstyle \mathbb{P} (M_n - \ln n\le x ) = F( x+\ln n)^n }$${\scriptstyle = (1-\exp(-x-\ln n ))^n }$${\scriptstyle = (1-n^{-1} e^{-x} )^n }$${\scriptstyle \to \quad \exp ( -e^x )= \Lambda (x) , \quad x\in\mathbb{R} }$ Hence, F belongs to the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution. The normalizing constants can be chosen to be ${\scriptstyle a_n=1 }$ and ${\scriptstyle b_n= \ln n }$

Example 3.2 (Maxima of exponential random variables). Let (Xk) be a sequence of iid standard exponential random variables, i.e. the distribution function F of Xk is given by${\scriptstyle F(x) = 1- e^{-x} }$ for ${\scriptstyle x\ge 0 }$ Then ${\scriptstyle \mathbb{P} (M_n - \ln n\le x ) = F( x+\ln n)^n }$${\scriptstyle = (1-\exp\{-x-\ln n\})^n }$${\scriptstyle = (1-n^{-1} e^{-x} )^n }$${\scriptstyle \to \quad \exp \{-e^{-x}\} = \Lambda (x) , \quad x\in\mathbb{R} }$ Hence, F belongs to the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution ${\scriptstyle (F \in MDA(\Lambda))}$. The normalizing constants can be chosen to be ${\scriptstyle a_n=1 }$ and ${\scriptstyle b_n= \ln n }$. Example 3.3 (Maxima of Cauchy random variables). Let (Xk) be a sequence of iid standard Cauchy random variables, i.e. the density function f of Xk is given by ${\scriptstyle f(x) = (\pi(1+x^2))^{-1} }$ for ${\scriptstyle x \in \mathbb{R} }$. Using l’Hospitals rule we obtain ${\scriptstyle \lim_{x\to\infty}\frac{\bar{F}(x)}{(\pi x)^{-1} }= \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{\pi^{-1} x^{-2} } = }$${\scriptstyle \lim_{x\to\infty}\frac{\pi x^2}{\pi (1+ x^2) }=1 }$ i.e. ${\scriptstyle \bar{F}(x)\sim(\pi x)^{-1} }$ as ${\scriptstyle x\to\infty}$. Hence, for ${\scriptstyle x>0, \quad\bar{F}(nx/\pi)\sim (nx)^{-1} }$ as ${\scriptstyle n\to\infty }$ and ${\scriptstyle \mathbb{P} (M_n\le \frac{nx}{\pi}) = \left( 1- \bar{F}\left(\frac{nx}{\pi}\right)\right)^n }$${\scriptstyle = \left( 1-\frac{1}{n}\left(\frac{1}{x} + o(1)\right)\right)^n }$${\scriptstyle \to \quad \exp\left\{ -x^{-1}\right\}= \Phi_1 (x), \quad x > 0. }$ [Seite 11] For ${\scriptstyle x\le 0, \mathbb{P}(M_n\le nx/\pi )\le F (0)^n \to 0 }$. Hence, F belongs to the maximum domain of attraction of the Fréchet distribution ${\scriptstyle (F \in MDA(\Phi_1))}$. The normalizing constants can be chosen to be ${\scriptstyle a_n=n/\pi }$ and ${\scriptstyle b_n=0 }$.

Anmerkungen Ausser der Reihenfolge der Beispiele sind die Unterschiede zwischen Quelle und Dissertation sehr gering: es gibt in der Dissertation geringfügige Auslassungen und eine fehlerhafte Normalisierungskonstante. Es mag sich hier zwar um Standardbeispiele handeln, aber der Wortlaut und die mathematische Herleitung Term für Term sind übernommen ohne dass die Quelle genannt wird.

Sichter (Hindemith), WiseWoman