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Grenzen der Versicherbarkeit von Katastrophenrisiken. Erweiterungsmöglichkeiten durch Rückversicherung, Katastrophenanleihen und Versicherungsderivate. Mit einem Geleitw. von Volker Arnold

von Prof. Dr. Tristan Nguyen

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Statistik und Sichtungsnachweis dieser Seite findet sich am Artikelende
[1.] Tn/Fragment 022 01 - Diskussion
Zuletzt bearbeitet: 2012-12-09 23:29:42 WiseWoman
BauernOpfer, Fragment, Gesichtet, SMWFragment, Schulenburg 2005, Schutzlevel sysop, Tn

Typus
BauernOpfer
Bearbeiter
Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 22, Zeilen: 1-25
Quelle: Schulenburg_2005
Seite(n): 270, 271, 272, Zeilen: 270: 8-14, 18-21, 29; 271: 6-16; 272: 1-3
Die Steigung der Versicherungsgeraden, auch Grenzrate der Transformation genannt, gibt an, in welchem Verhältnis das Vermögen im Schadensfall (v2) durch Abschluss eines Versicherungsvertrags bei gleichzeitiger Verminderung des Vermögens im Nichtschadensfall (v1) erhöht werden kann.

Entspricht der Zuschlagsfaktor π genau der Schadenwahrscheinlichkeit p (= faire Prämie), so folgt aus (1.10) für die Steigung der Versicherungsgeraden:

(1.11) \scriptstyle m=-\frac{1-p}{p}

Ob und in welchem Umfang Versicherung nachgefragt wird, hängt insbesondere von den Präferenzen des Individuums ab. Nach dem Erwartungsnutzentheorem wird sich ein Individuum unter Unsicherheit so entscheiden, dass sein Erwartungsnutzen maximiert wird, d.h.

(1.12) max. E(U(v)) = (1 – p) U(v1) + p U(v2)

Die Präferenzordnung eines Individuums lässt sich durch eine Schar von Indifferenzkurven darstellen. Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller v1-v2-Kombinationen gleichen Erwartungsnutzens. Durch totales Differenzieren der Erwartungsnutzenfunktion (1.12) erhält man:

(1.13) dE(U(v)) = (1 – p) U´(v1) dv1 + p U(v2) dv2.

Entlang der Indifferenzkurve ändert sich der Erwartungsnutzen nicht, so dass dE(U(v)) = 0. Damit folgt aus (1.13):

(1 – p) U´(v1) dv1 + p U´(v2) dv2 = 0 bzw.

(1.14) \scriptstyle \frac{dv_2}{dv_1}=-\frac{1-p}{p}\frac{U'( v_1 )}{U'( v_2 )}

\scriptstyle \frac{dv_2}{dv_1} wird auch als Grenzrate der Transformation56 bezeichnet. Die Grenzrate der Transformation gibt an, wie hoch der Vermögensbetrag für ein Individuum sein muss, den es im Schadensfall als Kompensation für den Verzicht einer Vermögenseinheit für die Zahlung der Prämie bekommt. Graphisch entspricht die Grenzrate der Substitution [der Steigung der Indifferenzkurve.]


56 Vgl. Zweifel, P. und R. Eisen (2003), S. 86 sowie Schulenburg, J.-M. (2005), S. 270.

Die Steigung der Versicherungsgeraden, auch Grenzrate der Transformation genannt, gibt an, in welchem Verhältnis das Vermögen im Schadensfall (w2) durch Abschluss eines Versicherungsvertrags bei gleichzeitiger Verminderung des Vermögens im Nichtschadensfall (w1) erhöht werden kann. Entspricht der Zuschlagsfaktor genau der Schadenwahrscheinlichkeit, d. h. haben wir den Fall einer so genannten „fairen Prämie" (z=p), dann ist die Steigung der Versicherungsgerade genau

\scriptstyle -\frac{1-p}{p}

[...]

Ob und in welchem Umfang Versicherung nachgefragt wird, hängt insbesondere von den Präferenzen des Individuums ab. Nach dem Erwartungsnutzentheorem wird sich ein Individuum unter Unsicherheit so entscheiden, dass sein Erwartungsnutzen maximiert wird. [...]

max E(U(w)) = p * U(w2) + (1 - p) * U(w1)

[Seite 271]

[...]

Die Nutzenfunktion eines Individuums lässt sich als Indifferenzkurve darstellen. Diese lässt sich aus dem totalen Differential der Erwartungsnutzenfunktion herleiten:

dE (U(w)) = [...] = p* U'(w2)dw2 + (1-p)*U'(w1)dw1

Da sich entlang einer Indifferenzkurve der Nutzen nicht verändert, gilt auf ihr:

p* U'(w2)dw2 + (1-p)*U'(w1)dw1=0

Durch Umformung erhält man:

\scriptstyle \frac{dw_2}{dw_1}=-\frac{1-p}{p}\frac{U'( w_1 )}{U'( w_2 )}

Dies wird auch als Grenzrate der Substitution bezeichnet.

[...]

Die Steigung der Indifferenzkurve ist durch die Grenzrate der Substitution definiert, d. h. durch die Bereitschaft im Nichtschadensfall auf eine Vermögenseinheit zu verzichten, um im Schadensfall Versicherungsschutz zu erlangen. Wie hoch der Vermögensbetrag

[Seite 272]

für ein Individuum sein muss, den es im Schadensfall als Kompensation für den Verzicht einer Vermögenseinheit für die Zahlung der Prämie bekommt, hängt entscheidend von seinen Vorstellungen über die Schadenwahrscheinlichkeit ab.

Anmerkungen

Auch auf der Vorseite gibt es einen Verweis auf Schulenburg 2005. Trotzdem wird der Umfang der Übernahme sowie ihr z.T. wörtlicher Charakter dem Leser keineswegs klar. Abbildung IV.6 in Schulenburg erscheint als Abbildung 1.10 bei Tn.

Sichter
(Hindemith), WiseWoman


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