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Grenzen der Versicherbarkeit von Katastrophenrisiken. Erweiterungsmöglichkeiten durch Rückversicherung, Katastrophenanleihen und Versicherungsderivate. Mit einem Geleitw. von Volker Arnold

von Prof. Dr. Tristan Nguyen

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Statistik und Sichtungsnachweis dieser Seite findet sich am Artikelende
[1.] Tn/Fragment 360 01 - Diskussion
Zuletzt bearbeitet: 2012-12-16 02:16:38 Hindemith
Fragment, Gesichtet, Kellermann 2001, SMWFragment, Schutzlevel sysop, Tn, Verschleierung

Typus
Verschleierung
Bearbeiter
HgR, Graf Isolan
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 360, Zeilen: 1-19
Quelle: Kellermann 2001
Seite(n): 220; 221, Zeilen: 16-22; 1-12
5.3.3.2 Modellierung des Indexprozesses

Der Gesamtschaden einer Periode kann durch die Zusammensetzung der beiden Zufallsvariablen Schadenanzahl N und Schadenhöhe der Einzelschäden Xn ausgedrückt werden.946 Dadurch ergibt sich für den Gesamtschaden

(5.17) \scriptstyle S = \sum_{n=1}^{N} X_{n}

Die Schadenanzahl N wird in der Versicherungsmathematik häufig durch die Poissonverteilung beschrieben. Die Schadenhöhe Xn pro Schadenfall lässt sich durch verschiedene Verteilungen beschreiben, wie die Normal-, Lognormal- oder Gammaverteilung.947 Für einen stochastischen Prozess ergibt sich dann der folgende Gesamtschaden:

(5.18) \scriptstyle S(t) = \sum_{n=1}^{N(t)} N_{n}

Der Schadenzuwachs in dt kann folgendermaßen ausgedrückt werden:

\scriptstyle dS=X\ dN= \begin{cases}\scriptstyle X\ mit\ Wahrscheinlichkeit\  \lambda  dt\\ \scriptstyle 0\ mit\ Wahrscheinlichkeit\ 1- \lambda  dt\end{cases}

wobei

N: Poisson-Prozess der Schadenanzahl,
X: Stochastische Sprunghöhe,
λ: Erwartete Schadenanzahl bzw. Intensität des Poisson-Prozesses.

Besondere Kennzeichen eines Poisson-Prozesses sind u. a. die Unabhängigkeit der Ereignisse und dass zu einem Zeitpunkt nur ein Ereignis eintreten kann.948 Zuwächse in einem Intervall [t, t+dt] sind also in diesem Intervall unabhängig und haben den Er-[wartungswert λdt.]


946 Zur mathematischen Schadenmodellierung, vgl. Anhang A.

947 Eine detaillierte Darstellungen der gängigen Wahrscheinlichheitsverteilungen von Schadenzahl und Schadenhöhe findet man im Anhang A.

948 Vgl. Tapiero, C. S. (1998), S. 59 sowie Mack, T. (1997), 76.

[S. 220]

b.) Modellierung des Indexprozesses

Der Gesamtschaden einer Periode kann durch die beiden Zufallsvariablen Schadenanzahl N und Schadenhöhe der Einzelschäden Xn ausgedrückt werden. Damit ergibt sich für den Gesamtschaden899

[85] \scriptstyle S = \sum_{n=1}^{N} X_{n}

Die Schadenanzahl N wird dabei in der Versicherungsmathematik häufig durch die Poissonverteilung beschrieben.900 Die Schadenhöhe Xn pro Schadenfall kann durch ver-

[S. 221]

schiedene Verteilungen beschrieben werden wie die Normal-, Lognormal- oder Gammaverteilung.901 Für einen stochastischen Prozeß ergibt sich dann der Gesamtschaden:

[86] \scriptstyle S(t) = \sum_{n=1}^{N(t)} X_{n}

Das stochastische Differential, das den Schadenzuwachs in dt darstellt, ergibt sich zu:

[87] \scriptstyle dS=X\ dN= \begin{cases}\scriptstyle X\ mit\ Wahrscheinlichkeit\  \lambda  dt\\ \scriptstyle 0\ mit\ Wahrscheinlichkeit\ 1- \lambda  dt\end{cases}

N stellt dabei einen Poissonprozeß der Schadenanzahl mit Intensität resp. erwarteter Schadenanzahl von λ, X stellt die stochastische Sprunghöhe dar.

Ein Poissonprozeß ist u.a. dadurch gekennzeichnet, daß Ereignisse unabhängig sind und zu einem Zeitpunkt nur ein Ereignis eintritt.902 Betrachtet man ein Zeitintervall [t, t+dt], so sind die Zuwächse in diesem Intervall unabhängig mit dem Erwartungswert λdt. Die Wahrscheinlichkeit, daß kein Ereignis in dem Intervall eintritt, beträgt (l-λ)dt, daß genau ein Ereignis eintritt, beläuft sich auf λdt.903


[Fußnoten S. 220]

897 Vgl. Chriss, N.A., 1997, S. 307.

898 Terstege bezeichnet Modelle, die diese Vorgehensweise zur Ermittlung eines Optionspreises zugrundelegen, als präferenzabhängige Modelle. Die Präferenzabhängigkeit resultiert dabei aus der explizit zu treffenden Annahme über den zu wählenden Diskontierungsfaktor, der durch die Anlegerpräferenzen bestimmt wird. Vgl. Terstege, U., 1995, S. 42f.

899 Vgl. zu der Ermittlung von Gesamtschadenverteilungen die Ausführungen S. 191ff.

900 Vgl. zu den Eigenschaften der Poissonverteilung S. 180ff.

[Fußnoten S. 221]

901 Vgl. die Ausführungen zu den Schadensummenverteilungen S. 183ff.

902 Vgl. Tapiero, C.S., 1998, S. 59.

903 Vgl. Tapiero, C.S., 1998, S. 59, Helten, 1994, S. 30. Exakter beschreibt sich der Poisson-Prozeß wie folgt: [...]

Anmerkungen

Weite Teile vollständig übernommen.

Sichter
(HgR), (Graf_Isolan), WiseWoman


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Letzte Bearbeitung dieser Seite: durch Benutzer:WiseWoman, Zeitstempel: 20121215231409

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