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Tn/361

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Grenzen der Versicherbarkeit von Katastrophenrisiken. Erweiterungsmöglichkeiten durch Rückversicherung, Katastrophenanleihen und Versicherungsderivate. Mit einem Geleitw. von Volker Arnold

von Prof. Dr. Tristan Nguyen

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Statistik und Sichtungsnachweis dieser Seite findet sich am Artikelende
[1.] Tn/Fragment 361 01 - Diskussion
Zuletzt bearbeitet: 2012-12-18 13:40:50 Hindemith
Fragment, Gesichtet, Kellermann 2001, SMWFragment, Schutzlevel sysop, Tn, Verschleierung

Typus
Verschleierung
Bearbeiter
WiseWoman
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 361, Zeilen: 1-22
Quelle: Kellermann 2001
Seite(n): 221; 222, Zeilen: 9-21; 1-8
[Zuwächse in einem Intervall [t, t+dt] sind also in diesem Intervall unabhängig und haben den Er-]wartungswert λdt. Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Ereignis in dem Intervall eintritt, beträgt 1-λdt, dass genau ein Ereignis eintritt, beträgt λdt.949

Die Unabhängigkeit der einzelnen Ereignisse gilt auch für die Schadenhöhe X, das bedeutet, die Schadenhöhe des (n+1)-ten Ereignisses ist unabhängig von der Schadenhöhe des n-ten Ereignisses. Gleichzeitig sind die Schadenhöhen X der verschiedenen Ereignisse aber identisch verteilt. Hier ist der wesentliche Unterschied zum Sprung-Diffusionsmodell von Merton zu erkennen. Dort wird die relative erwartete Sprunghöhe verwendet, während hier die Sprunghöhe selbst als ein stochastischer Prozess mit absoluten Sprunghöhen definiert wird.

Der Korrekturprozess kann mit Hilfe einer geometrischen Brownschen Bewegung abgebildet werden. In der Literatur zu diesem Thema hat sich diese Art der Modellierung durchgesetzt 950 Die Korrektur des Indexstandes L in Höhe von dA kann damit folgendermaßen ausgedrückt werden:951

(5.19) dA = μL dt + σL dz

mit

μ: relativer Erwartungswert,
σ: relative Standardabweichung,
z: Brownscher Prozess.

Für den Fall, dass noch kein Schaden eingetreten ist (d.h. L = 0), gibt es auch noch keine Korrekturen und es gilt somit dA = 0.952 Insgesamt kann nun der aus dem Schadenprozess und dem Korrekturprozess bestehende stochastische Prozess des PCS-Index wie folgt dargestellt werden:


949 Exakter lässt sich der Poisson-Prozess wie folgt beschreiben:
P("Kein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein") = 1 - λh + O(h)
P("Ein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein") = λh + O(h)
P("Mehr als ein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein") = O(h),
O(h) stellt dabei die sog. asymptotische Ordnung dar, es gilt 0(h)=Ψ(h) falls lim h → 0[Ψ(h)/h]=0.

Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 128. Durch O(h) wird sichergestellt, daß zu einem Zeitpunkt nur ein Ereignis auftreten kann.

950 Vgl. z.B. Cummins, J.D. und Geman, H. (1999), S. 33.

951 Vgl. Flasse, O., Hartung, T., Liebwein, P. (1999), S. 249.

952 Vgl. Flasse, O., Hartung, T. und Liebwein, P. (1999), S. 249.

Betrachtet man ein Zeitintervall [t, t+dt], so sind die Zuwächse in diesem Intervall unabhängig mit dem Erwartungswert λdt. Die Wahrscheinlichkeit, daß kein Ereignis in dem Intervall eintritt, beträgt (1-λ)dt, daß genau ein Ereignis eintritt, beläuft sich auf λdt.903 Für die Schadenhöhe X gilt ebenfalls, daß die einzelnen Ereignisse unabhängig voneinander sind, d.h., die Schadenhöhe des Ereignisses n+1 ist unabhängig von der Schadenhöhe des Ereignisses n, die Schadenhöhen X der verschiedenen Ereignisse sind aber identisch verteilt.904 Hierin ist der wesentliche Unterschied zu dem Sprung-Diffusionsmodell von Merton zu sehen. Dort wird die relative erwartete Sprunghöhe implementiert. Hier wird die Sprunghöhe selbst als ein stochastischer Prozeß mit absoluten Sprunghöhen definiert.

Der Korrekturprozeß kann, wie bereits angemerkt, als eine geometrische Brown'sche Bewegung definiert werden. Diese Modellierung wird auch in den meisten Veröffentlichungen zur Bewertungsproblematik von Derivaten auf Versicherungsindizes vorge-

[S. 222]

schlagen.905 Für den Korrekturprozeß ergibt sich damit für die Anpassung des Indexstandes L in Höhe von dA folgender Ausdruck:906


[88] dA = μL dt + σL dz

mit relativem Erwartungswert μ und relativer Standardabweichung σ für die Korrektur. Für den Fall, daß noch kein Schaden eingetreten ist, kann auch keine Korrektur vorgenommen werden, so daß dA = 0 gilt.907

Insgesamt läßt sich der stochastische Prozeß des PCS-Indexes bestehend aus dem Schadenprozeß und dem Korrekturprozeß nun wie folgt modellieren:908


903 Vgl. Tapiero, C.S., 1998, S. 59, Helten, 1994, S. 30. Exakter beschreibt sich der Poisson-Prozeß wie folgt:

P(kein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein) = 1 - λh + O(h)
P(ein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein) = λh + O(h)
P(mehr als ein Ereignis tritt in dem Zeitintervall (t, t+h) ein) = O(h)
O(h) stellt dabei die sog. asymptotische Ordnung dar, es gilt 0(h)=Ψ(h) falls lim h → 0[Ψ(h)/h]=0. Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 128. Durch O(h) wird gewährleistet, daß zu einem Zeitpunkt nur ein Ereignis auftreten kann. Vgl. Panjer, H.H., Willmot, O.E., 1992, S. 64.

904 Vgl. Kremer, E , 1988, S. 672.

905 Vgl. Cummins, J.D., Geman, H., 1999, S. 33, Geman, H., Yor, M., 1999, S. 51.

906 Vgl. Flasse, O. et al., 1999, S. 249.

907 Vgl. Flasse, O. et al., 1999, S. 249.

908 Vgl. Flasse, O. et al., 1999, S. 250.

Anmerkungen

Mit einigen wenigen Umformulierungen komplett aus der Quelle übernommen

Sichter
(WiseWoman), Hindemith


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