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Typus
Verschleierung
Bearbeiter
Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 291, Zeilen: 1-16, 19-26
Quelle: Kellermann 2001
Seite(n): 183, 184, 185, Zeilen: 183: 1ff; 184: 10ff; 185: 2-3
Bei der negativen Binomialverteilung handelt es sich um eine zusammengesetzte Poissonverteilung. Im Gegensatz zur Poissonverteilung besitzt die negative Binomialverteilung eine Varianz, die den Erwartungswert übersteigt. Sie findet häufig dann Verwendung, wenn die Poissonverteilung die Schwankung um den Erwartungswert unzureichend quantifiziert.

Die Intensität λ wurde bisher als eine feste Größe angenommen. Um jedoch die Schwankung im Zeitablauf widerzuspiegeln, kann die Intensität auch als eine Zufallsvariable definiert werden, welche die Verteilungsfunktion U(λ) habe. Häufig wird diese Verteilung U(λ) durch eine Gamma-Verteilung dargestellt.753 Hieraus resultiert wieder eine Schadenzahlverteilung in der Form der negativen Binomialverteilung.754

4.3.2.2 Schadenhöheverteilungen

Die vorgestellten Schadenanzahlverteilungen sind diskrete Verteilungen und können in einem Intervall nur endlich viele Realisationen annehmen. Um jedoch die Schadenhöhen abbilden zu wollen, sollen die Verteilungen innerhalb eines Intervalls beliebige und unendlich viele Werte annehmen können. Deswegen spielen stetige Verteilungen bei der Modellierung der Schadensumme eine große Rolle.

[...] Die Wahrscheinlichkeit für einen Großschaden strebt bei der Normalverteilung zu schnell gegen Null. Deswegen werden für die Beschreibung von Schäden in der Versicherungsmathematik in erster Linie sog. schiefe Verteilungen verwendet, wie z.B. die Lognormalverteilung, die Gammaverteilung oder die Paretoverteilung.

Die Lognormalverteilung wird in der Unfall-, Kranken, Feuer- und Haftpflichtversicherung erfolgreich eingesetzt.756 Sie besitzt einen realistischeren Verlauf als die Normalverteilung, da bei ihr sehr große Schäden zwar eine geringe, jedoch eine positive und höhere Wahrscheinlichkeit als bei der Normalverteilung aufweisen (vgl. Abbil-[dung 4.13).]


753 Vgl. Mack, T. (1997), S. 80.

754 Vgl. Panjer, H. H. und Willmot, G. E. (1992), S. 206. Bei Modellen mit Wahrscheinlichkeitsansteckung (d.h., dass das Eintreten eines Ereignisses das Eintreten eines anderen beeinflusst) kann unter der Annahme einer linearen Abhängigkeit der Schadenfälle bewiesen werden, dass die Schadenzahlverteilung einer negativen Binomialverteilung folgt.

755 Vgl. Burnecki, K., Misiorek, A. und Weron, R. (2005), S. 292.

756 Vgl. Helten, E. (1987), S. 37.

Die negative Binomialverteilung weist im Gegensatz zur Poissonverteilung eine Varianz

auf, welche den Erwartungswert übersteigt, so daß diese Verteilung häufig dann Verwendung findet, wenn die Poissonverteilung die Schwankung um den Erwartungswert unzureichend quantifiziert. [...]

Bislang wurde die Intensität λ als eine feste Größe angenommen, sie kann jedoch auch als eine Zufallsvariable definiert werden und die Schwankung im Zeitablauf widerspiegeln resp. die Unsicherheit bzgl. der tatsächlichen Ausprägung von λ.756 ln diesem Fall betrachtet man die Intensität X selbst als eine Zufallsvariable mit einer Verteilungsfunktion U(λ). Bei der Betrachtung von Versicherungsportfolios wird diese als Strukturfunktion bezeichnete Verteilung U(λ) häufig durch eine Gamma-Verteilung dargestellt. Hieraus resultiert wieder eine Schadenzahlverteilung in der Form einer negativen Binomialverteilung.757

(2) Schadensummenverteilungen

Die bislang angesprochenen Schadenanzahlverteilungen sind sog. diskrete Verteilungen, die in einem Intervall nur endlich viele mögliche Realisationen annahmen können. 758 [...] Stetige Verteilungen können hingegen innerhalb eines Intervalls beliebige und unendlich viele Werte annehmen und werden daher bei Versicherungen häufig zur Beschreibung der Schadenhöhe eingesetzt.759 Die bekannteste stetige Verteilung ist die Normalverteilung, [...]

[Seite 184]

Für die Beschreibung von Schäden werden in erster Linie sog. schiefe Verteilungen angewendet, wie bspw. die Lognormalverteilung, die Gammaverteilung und die Paretoverteilung.

Durch ihren realistischen Verlauf, bei dem niedrige Schäden eine geringe Wahrscheinlichkeit haben, mittlere Schäden die größte Häufigkeit haben und sehr große Schäden zwar eine geringe, aber dennoch eine positive und höhere Wahrscheinlichkeit als bei der Normalverteilung aufweisen, findet die Lognormalverteilung in der Versicherungsmathematik häufig Anwendung.766 Im Vergleich zur Normalverteilung nähern sich hier mit zunehmender Schadengröße die Wahrscheinlichkeiten nicht so schnell dem Werte Null an.

[Seite 185]

Die Lognormalverteilung wurde in der Unfall-, Kranken-, Feuer- und Haftpflichtversicherung erfolgreich eingesetzt.767


756 Vgl. hierzu Helten, E., 1973, S. 71f.

757 Vgl. Panjer, H.H., Willmot, G.E., 1992, S. 206, Mehl, R., 1985, S. 99. Sog. Modelle mit Wahrscheinlichkeitsansteckung (d.h., daß das Auftreten eines Ereignisses das Auftreten anderer Ereignisse beeinflußt), modellieren ebenfalls eine Intensitätsfunktion. Unter der Annahme einer linearen Abhängigkeit der Schadenfälle kann nachgewiesen werden, daß die Wahrscheinlichkeit einer negativen Binomialverteilung folgt. Siehe hierzu und zu den weiteren Annahmen Helten, E., 1973, S. 85. Vgl. auch Flemming, K., 1988, S. 100.

758 Vgl. Elpelt, B„ Hartung, J., 1992, S. 40.

759 ln der Schadenversicherung geht man vou der Annahme aus, daß die Schadenhöhe zufallsabhängig ist und damit im Gegensatz zu der Lebensversicherung nicht im voraus vertraglich festgelegt ist. Vgl. Helten, E., 1973, S. 96. Häufig werden Vereinbarungen getroffen, bei der eine Entschädigungsleistung des Versicherers durch eine Versicherungssumme V nach oben begrenzt wird. Dies fuhrt dazu, daß die Wahrscheinlichkeitsverteilung au f die Versicherungssumme gestutzt wird. Die Werte oberhalb der Versicherungssumme, d.h. die Wahrscheinlichkeiismaße, müssen dem Punkt V zugeschlagen werden. Siehe hierzu ausführlicher Helten, E., 1973, S. 96ff.

766 Vgl. Straub, E., 1980, S. 20. Vgl. allgemein zur Lognormalverteilung Johnson, N.I., Kotz, S., 1970, S. 112ff.

767 Vgl. Hellen, E., 1987, S. 37. Sie ist bei Rückversicherungsprogrammen gut dazu geeignet, die Gesamlschadenverteilung eines großen Portfolios (im Rahmen einer Jahiesilberschaden- Rückversichening) oder Feuer-Einzelrisiken (bei Schadenexzedenten-Rückversicherungen) zu modellieren. Vgl. Schmutz, M., Doerr, R.R., 1998, S. 23.

Anmerkungen

Ein Quellenverweis fehlt.

Sichter
(Hindemith), HgR

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