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Tn/Fragment 355 01

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Typus
Verschleierung
Bearbeiter
Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 355, Zeilen: 1-25, 101-106, (S. 356: 101-102)
Quelle: Kellermann 2001
Seite(n): 215, 216, Zeilen: 215: 24ff; 216: 1ff, 101-107
[Merton entwickelte sein Modell genauso wie Black & Scholes und Cox & Ross für die Bewertung von europäischen Aktienoptionen. Er trifft die Annahme, dass] die totale Veränderung eines betrachteten Underlyings durch zwei Prozesse bestimmt wird.925

Der erste Prozess beschreibt die normalen Schwankungen des Preises, die durch Ungleichgewichte in dem Angebot und in der Nachfrage nach dem Underlying, durch Veränderungen der Zinsstruktur, durch Veränderung der Wirtschaftsentwicklung etc. hervorgerufen werden. Dieser Prozess führt in einem kleinen Zeitintervall nur zu marginalen Veränderungen und wird als standardisierte geometrische Brownsche Bewegung definiert.926

Der zweite Prozess spiegelt die abnormalen Bewegungen des Underlyings wider, die zu extremen Wertveränderungen („Jumps“) auch in einem sehr kurzen Zeitintervall führen können und damit nicht mehr mit den Annahmen der Brownschen Bewegung vereinbar sind. Dieser Prozess wird über einen Jump Prozess modelliert.927 Merton erklärt dieses Verhalten mit dem Auftreten neuer Informationen, die ausschließlich die Entwicklung des Underlyings betreffen und formuliert die Annahme, dass das Auftreten dieser Informationen durch eine Poissonverteilung bestimmt wird.928 Tritt das „Poissonereignis“ auf, so wird der Einfluss dieser neuen Information auf das Underlying durch eine Zufallsvariable Y bestimmt, die die prozentuale Veränderung angibt.929 Die durchschnittliche Anzahl solcher Ereignisse pro Zeiteinheit wird durch den Parameter λ zum Ausdruck gebracht.

Der stochastische Prozess des Underlyings, der durch die beiden genannten Prozesse bestimmt wird, lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:930

\scriptstyle
(5.11) \qquad \mathrm{ { dU \over U } = ( \mu - K \cdot \lambda ) dt + \sigma \cdot U \cdot dz + dN }

Der Parameter μ stellt die erwartete Wachstumsrate des Underlyings und K die erwartete prozentuale Sprunghöhe des Underlyings dar: K = E(J-1) . Der Ausdruck (μ - K*λ) beschreibt damit die erwartete Wachstumsrate des Underlyings gemäß der [geometrischen Brownschen Bewegung.931]


925 Vgl. Merton, R. C. (1976), S. 127.

926 Vgl. Merton, R. C. (1976), S. 128.

927 Vgl. Merton, R. C. (1976), S. 127.

928 Vgl. Merton, R. C. (1976), S. 127.

929 Vgl. Merton, R. C. (1976), S. 128.

930 Hull, J. C. (2003), S. 222 ff. sowie Merton, R. C. (1976), S. 128 f.

931 Die Wachstumsrate μ einer betrachteten Zeitreihe wird durch die Jumps in ihrer Höhe beeinflusst. Über den Term K*λ wird dieser Effekt eliminiert.

Merton trifft die Annahme, daß die totale Veränderung eines betrachteten Underlyings (er entwickelte sein Bewertungsmodell genauso wie Black & Scholes und Cox & Ross für die Bepreisung von europäischen Aktienoptionen) durch zwei Prozesse bestimmt wird.872

Der erste Prozeß betrifft die normalen „Vibrationen“ des Preises, die durch Ungleichgewichte in dem Angebot und der Nachfrage nach dem Underlying, durch Veränderung der Zinsstruktur, durch Veränderung der Wirtschaftsentwicklung etc. verursacht

[Seite 216]

werden. Dieser Prozeß fuhrt in einem kleinen Zeitintervall nur zu marginalen Veränderungen und wird als standardisierte geometrische Brown'sche Bewegung definiert.873

Der zweite Prozeß reflektiert die abnormalen Bewegungen des Underlyings, die zu extremen Wertveränderungen („Jumps“) auch in einem sehr kurzen Zeitintervall führen können und damit nicht mehr mit den Annahmen der Brown'schen Bewegung vereinbar sind. Dieser Prozeß wird über einen Jump Prozeß modelliert.874 Merton erklärt dieses Verhalten mit dem Auftreten neuer Informationen, die ausschließlich die Entwicklung des Underlyings betreffen und formuliert die Annahme, daß das Auftreten dieser Informationen durch eine Poissonverteilung bestimmt wird.875 Tritt das „Poissonereignis“ auf, so wird der Einfluß dieser neuen Information auf das Underlying durch eine Zufallsvariable Y bestimmt, die die prozentuale Veränderung angibt.876 Die durchschnittliche Anzahl solcher Ereignisse pro Zeiteinheit wird durch den Parameter λ zum Ausdruck gebracht.

Der stochastische Prozeß des Underlyings, der durch die beiden beschriebenen Prozesse bestimmt wird, läßt sich durch die folgende Gleichung beschreiben:877

\scriptstyle
[79] \qquad \mathrm{ { dU \over U } = ( \mu - K \cdot \lambda ) dt + \sigma\ U\ dz + dN }

Der Parameter μ stellt die erwartete Wachstumsrate des Underlyings, K stellt die erwartete prozentuale Sprunghöhe des Underlyings dar: K = E(J-1). Der Ausdruck (μ-K*λ) beschreibt damit die erwartete Wachstumsrate des Underlyings gemäß der geometrischen Brown'schen Bewegung.878


872 Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 127.

873 Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 128.

874 Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 127.

875 Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 127.

876 Vgl. Merton, R.C., 1976, S. 128. Siehe hierzu auch Cox, J.C., Rubinstein, M., 1983, S. 24.

877 Vgl. Hull, J.C., 1997, S. 498, Merton, R.C., 1976, S. 128f.

878 Die Wachstumsrate μ einer betrachteten Zeitreihe wird durch die Jumps in ihrer Höhe beeinflußt. Über den Term k*λ. wird dieser Effekt eliminiert.

Anmerkungen

Ein Quellenverweis fehlt.

Sichter
(Hindemith), Hood

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