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Tn/Fragment 364 01

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Typus
Verschleierung
Bearbeiter
Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 364, Zeilen: 1-26
Quelle: Kellermann 2001
Seite(n): 224, 225, Zeilen: 224: 11f; 225: 1-3
Über die Beziehung F(y) = x bzw. F-1(x) = y können die entsprechenden Zufallsausprägungen gewonnen werden.964 Somit ist die Monte-Carlo-Simulation nicht an die Annahme einer normalverteilten Zufallsvariable gebunden.

Die Qualität einer Monte-Carlo-Simulation hängt von verschiedenen Faktoren ab. Ausschlaggebend ist zum einen der verwendete Zufallszahlen-Generator und zum anderen ist auf eine realistische Modellierung des stochastischen Prozesses zu achten. Zusätzlich ist auch die Anzahl der durchgeführten Simulationen für die Güte der Monte-Carlo-Simulation verantwortlich.965

Bei der Modellierung des PCS-Prozesses L(t) muss in der Schadenperiode sowohl der Schadenprozess S(t) also auch der Korrekturprozess A(t) über eine Monte-Carlo-Simulation simuliert werden. In der Berichtsperiode ist dann nur noch der Korrekturprozess zu berücksichtigen. Über die Monte-Carlo-Simulation kann abgebildet werden, ob es während der Schadenperiode in einem Zeitintervall dt zu einem Katastrophenereignis kommt oder nicht.

Beim Poisson-Prozess ist die Ankunftszeit, d.h. die Zeitdauer bis ein Poissonereignis eintritt, exponentialverteilt.966 Sei W die Zeit für das erste Poissonereignis. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit W kleiner ist als eine betrachtete Zeit t, berechnet sich somit folgendermaßen:

(5.23) \scriptstyle  P(W\le t)=1- e^{-\lambda t}

Durch Monte-Carlo-Simulation kann analog zu oben vorgestellter Vorgehensweise für jedes betrachtete Zeitintervall Δt eine Ankunftszeit az simuliert werden. Es muss eine Zufallszahl im Intervall [0,1] (für die Wahrscheinlichkeit) generiert werden und über den Zusammenhang \scriptstyle P(W\le t)=1- e^{-\lambda t} \Leftrightarrow t= - \frac{\ln (1-P(W\le t))}{\lambda} kann für eine gegebene Wahrscheinlichkeit P ermittelt werden, für welches t die Ankunftszeit W kleiner als t ist und somit ein Poissonereignis eintritt. Ist \scriptstyle  az \le \Delta t, so kommt es zu einem Sprung, dessen Höhe nun selbst simuliert werden muss.


964 Voraussetzung hierfür ist die Existenz der Inversen der Verteilungsfunktion, vgl. Jorion, P. (1997), S. 236.

965 Vgl. hierzu Dowd, K. (1998), S. 112 ff.

966 Vgl. Panjer, H. H. und Willmot, G. E. (1992), S. 67.

Über die Beziehung F(y) = x bzw. F-1(x) = y können die entsprechenden Zufallsausprägungen einer Verteilung generiert werden.920 Damit ist die Monte-Carlo-Simulation nicht an die Annahme einer normalverteilten Zufallsvariable gebunden.921

Bezogen auf den PCS-Prozeß L(T) muß über eine Monte-Carlo-Simulation sowohl der Schadenprozeß S(t) als auch der Korreklurprozeß A(t) für die Schadenperiode simuliert werden. In der Berichtsperiode gilt es dann, nur noch den Korrekturprozeß zu berücksichtigen. Ob es während der Schadenperiode in einem Zeitintervall dt zu einem Katastrophenereignis kommt oder nicht, kann über die Monte-Carlo-Simulation abgebildet werden.

Charakteristisch für einen Poisson-Prozeß ist die Tatsache, daß die Ankunftszeit, d.h. die Zeitdauer bis ein Poisson-Event eintritt, exponentialverteilt ist.922 Betrachtet man die Zeit W für das erste Poisson-Ereignis, so bestimmt sich die Wahrscheinlichkeit, daß W kleiner ist als eine betrachtete Zeit von t, nach:

[92] \scriptstyle  P(W\le t)=1- e^{-\lambda t}

[Seite 225]

Diesen Zusammenhang kann man nun für die Monte-Carlo-Simulation nutzen, indem man für jedes betrachtete Zeitintervall Δt eine Ankunftszeit az simuliert.923 Ist \scriptstyle  az \le \Delta t kommt es zu einem Sprung, dessen Höhe nun selbst simuliert werden muß.


920 Voraussetzung hierfür ist, daß die Inverse einer Verteilungsfunktion existiert. Vgl. Jorion, P., 1997, S. 236.

921 Die Qualität einer Monte-Carlo-Simulation wird von verschiedenen Faktoren bestimmt. Zum einen ist der verwendete Zufallszahlen-Generator ausschlaggebend, zum anderen ist eine realistische Modellierung des stochastischen Prozesses erforderlich. Des weiteren ist die Anzahl der durchgeführten Simulationen zur Abbildung einer Verteilung für die Güte der Monte-Carlo-Simulation relevant. Vgl. hierzu ausführlicher Dowd, K., 1998, S.112ff.

922 Vgl. Panjer, H.H., Willmot, G.E., 1992, S. 67.

923 Hier kann man analog zu der Vorgehensweise weiter oben Vorgehen. Es kann eine Zufallszahl in dem Intervall [0; 1] generiert werden. Über den Zusammenhang

\scriptstyle P(W\le t)=1- e^{-\lambda t}

\scriptstyle \Leftrightarrow t= - \frac{\ln (1-P(W\le t))}{\lambda}

kann man für eine gegebene Wahrscheinlichkeit P ermitteln, für welches t die Ankunftszeit W kleiner als t ist und es somit zu einem Poisson-Ereignis kommt.

Anmerkungen

Ein Quellenverweis fehlt

Sichter
(Hindemith), WiseWoman

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