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Tn/Fragment 416 05

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Typus
Verschleierung
Bearbeiter
Graf Isolan, Singulus, Hindemith
Gesichtet
Yes.png
Untersuchte Arbeit:
Seite: 416, Zeilen: 5-14, 16-24, 101-102
Quelle: Riedle 2005
Seite(n): 18-19, Zeilen: S.18,13-26 und S.19,4-11
Betrachtet man die Schadenzahl N als die Summe Laplace-verteilter Zufallsvariablen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen können, so ist N gemäß einer Binomialverteilung verteilt.

Tn 416 Hab 1.png

Als Notation für die Binomialverteilung verwenden wir b(n,p) mit \scriptstyle n\in \mathbb N und \scriptstyle p\in (0,1). Dabei entspricht der Parameter n der Größe des Portfolios (= Anzahl der Risiken im Versicherungsbestand). [...]1076

Die Binomialverteilung eignet sich zur Modellierung der Schadenzahlverteilung für kleine, homogene Bestände. Für große Bestände ist sie dagegen ungeeignet, da die Varianz in diesen Fällen sehr klein ausfällt. Außerdem ist diese Verteilung nicht sehr anpassungsfähig, da nur ein Parameter, nämlich p, als Anpassungsparameter zur Verfügung steht.

Die Binomialverteilung kann für kleine Werte von p sehr gut durch die sog. Poissonverteilung approximiert werden. Denn gerade kleine Werte von p, also Schäden, die nur mit einer geringen Wahrscheinlichkeit auftreten, kommen in der Versicherungsbranche, insbesondere bei Katastrophenrisiken, häufig vor.1077


1076 Erinnert sei an folgende Eigenschaften der Binomialverteilung: E(N) = n·p und Var(N) = n·p (1 – p).

1077 Insbesondere ist die Wahrscheinlichkeit für Großschadenereignisse relativ gering, so dass in diesem Fall die Poissonverteilung zur Modellierung der Schadenzahl als geeigneter erscheint.

[Seite 18]

Betrachtet man die Schadenzahl N als die Summe von laplaceverteilten Zufallsvariablen, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen können, so ist N gemäß einer Binomialverteilung verteilt.

Tn 416 Q 1.png

Als Notation für die Binomialverteilung benutzen wir b(m,p).

Offensichtlich entspricht der Parameter m der Größe des Portfolios. Erinnert sei an die folgende Eigenschaften der Binomialverteilung:

Lemma 2.7

Tn 416 Q 2.png

[Seite 19]

[...]

Die Binomialverteilung eignet sich zur Modellierung der Schadenzahlverteilung für kleine, homogene Bestände. Dagegen ist sie für große Bestände ungeeignet, da die Varianz dann sehr klein ausfällt. Desweiteren ist diese Verteilung wenig anpassungsfähig, da nur der Parameter p zur Modellierung dienen kann.

Die Binomialverteilung kann für kleine Werte von p sehr gut durch die Poissonverteilung approximiert werden, siehe Beispiel A.25. Doch gerade kleine Werte von p, also Schäden, die nur mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit auftreten, treten in der Versicherungsbranche häufig auf.

Anmerkungen

Auf späteren Seiten findet sich in Fußnoten "Vgl. Riedle, M. (2005)" ohne nähere Charakterisierung der Quelle. Im Literaturverzeichnis ist die Quelle nicht aufgeführt.

Sichter
(Graf Isolan), (Hindemith), Hood

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